Ekvationssystem additionsmetoden

Linjära ekvationssystem

Ett ekvationssystem där många av variablerna har noll som koefficient kallas glesa och tar i allmänhet betydligt mindre beräkningskapacitet för att lösas förutsatt att en algoritm som utnyttjar glesheten används. Glesa ekvationssystem är vanliga vid exempelvis numerisk behandling av differentialekvationer , till exempel har bandmatrismetoden fått namn efter strukturen på ekvationssystemet den ger upphov till. Om antalet ekvationer är lika med antalet obekanta kommer matrisen A att vara kvadratisk. Determinanten för en kvadratisk matris A kan avslöja om systemet har en entydig lösning eller inte. En frihetsgrad kan tolkas som att lösningen har en parameter som kan sättas till ett godtyckligt värde. Vi har nu. Att ett homogent ekvationssystem har icke-triviala lösningar innebär alltså att det finns lösningar där inte alla x k är noll, vilket är definitionen på linjärt beroende :. Kolonnvektorerna x Om n är större än p är vektorerna linjärt beroende vilket innebär att.

Två linjer skär varandra om de inte är parallella. Är de parallella kan de antingen vara identiska eller olika. Lösningsmängden kan då ses som de gemensamma punkterna för linjerna. Två identiska linjer har alla punkter gemensamma, alltså finns det oändligt många lösningar. Två parallella linjer som inte skär varandra har inga gemensamma punkter och alltså finns inga lösningar. Två linjer som inte är parallella skär varandra i precis en punkt, och då finns en entydig lösning till systemet. Ett underbestämt ekvationssystem med två ekvationer och tre obekanta kan karaktäriseras av två plan. Lösningsmängden representeras av alla de punkter i rummet som de två planen har gemensamma. Om planen inte är parallella så skär de varandra i en linje, och lösningsmängden blir då en linje i rummet. Om planen är identiska, är lösningsmängden detta plan. Är planen parallella och olika finns inga lösningar. Ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta har en entydig lösning precis då de tre planen skär varandra i en punkt.

Har planen ingen gemensam skärningspunkt finns inga lösningar till systemet. Den enklaste formen av ekvationssystem består av linjära funktioner:. Ekvationssystemet kan i matrisform skrivas som.

Ekvationssystem grafisk lösning

För att detta skall vara möjligt måste matrisen A vara kvadratisk , det vill säga matrisen måste ha lika många rader m som kolumner n. Nollrummet N A innehåller endast nollvektorn om, och endast om, determinanten till matrisen A inte är noll:. Ett ekvationssystem med två lösningar Ett ekvationssystem är en mängd av ekvationer av flera variabler. Huvudartikel: Linjärt ekvationssystem. Matematikportalen — portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.

Navigeringsmeny

Kategori : Algebra. Namnrymder Artikel Diskussion. Visningar Läs Redigera Redigera wikitext Visa historik.