Räkna ut vinkel triangel

I tidigare avsnitt har vi lärt oss om olika typer av vinklar och om fyrhörningar. I det här avsnittet ska vi lära oss om trianglar, olika typer av trianglar och hur vi beräknar en triangels omkrets och area. En triangel är en geometrisk figur som har tre hörn. I vart och ett av hörnen har triangeln en vinkel och hörnen binds samman av tre sidor.

Likbent triangel

Hörnen i en triangel betecknar vi ofta med stora bokstäver versaler , till exempel A , B och C som i bilden här ovanför. Ofta betecknar vi också vinkeln i ett hörn A som vinkel A. I en triangel gäller att en sida som befinner sig mittemot ett hörn A , kallas den motstående sidan, och betecknas med den lilla bokstaven gemenen som motsvarar hörnets beteckning. Till exempel är sidan som är motstående hörnet A en sida som vi betecknar a. En viktig egenskap hos trianglar är att en triangels vinkelsumma är lika med °. Vinkelsumman får vi genom att vi adderar storleken på triangelns tre vinklar. Denna summa ska alltså alltid vara lika med °. Att vinkelsumman alltid ska vara lika med ° kan vi använda oss av om vi till exempel vet hur stora två av triangelns vinklar är - då kan vi beräkna hur stor den tredje vinkeln måste vara.

Beräkna en okänd vinkel

Den okända tredje vinkeln kan vi beräkna genom att från ° subtrahera de båda kända vinklarna. Eftersom vi vet att vinkelsumman i triangeln måste vara °, så kan vi teckna en ekvation för vinkelsumman, så här:. Vi har tidigare sett hur vi gör för att lösa en ekvation av den här typen. Vad vi vill göra är helt enkelt att hitta vilket värde på v som gör att ekvationens båda sidor blir lika. Det gör vi genom att vi först förenklar den vänstra sidan, genom att addera de två kända vinklarna:. Beroende på hur stora de olika vinklarna i en triangel är, kan vi del upp trianglar i olika typer. Vi ska titta på tre speciella typer av trianglar som förkommer ofta och är bra att känna till. En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är en rät vinkel, det vill säga 90°. I rätvinkliga trianglar är alltid den räta vinkeln den största vinkeln och summan av de båda andra vinklarna är 90°. I figuren ovan är vinkeln i hörnet A den räta vinkeln och summan av vinklarna i hörnen B och C måste vara 90°.

En annan intressant egenskap är att den sida i triangeln som är motstående den räta vinkeln, kommer att vara den längsta sidan i triangeln. I figuren ovan är vinkeln i hörnet A den räta vinkeln, så den längsta sidan i triangeln måste vara den motstående sidan, alltså sidan BC. I figuren ovan är de båda sidorna AC och BC lika långa, så triangelns är likbent. Att två av sidorna i triangeln är lika långa innebär också att två av triangelns vinklar är lika stora. I figuren ovan är det vinklarna i hörnen A och B som är lika stora. De båda vinklarna i en likbent triangel som är lika stora, kallar vi basvinklar. Att triangelns tre sidor är lika långa innebär också att triangelns tre vinklar alla är lika stora. Eftersom summan av de tre lika stora vinklarna ska vara °, måste var och en av vinklarna vara 60°. Omvänt gäller också att om vi har en triangel som har tre lika stora vinklar, då måste triangeln vara liksidig. De olika sidorna i en rätvinklig triangel benämns på olika sätt i relation till vinkeln som vi studerar:.

Detta är benämningar vi kommer att använda mycket framöver. Sinus, cosinus och tangens är trigonometriska funktioner som anger förhållandet mellan längderna på en rätvinklig triangels sidor. Detta värde anger alltså kvoten mellan två av längderna på triangelns sidor - vilka två sidor det rör sig om, det beror på vilken av de tre trigonometriska funktionerna vi använder, enligt formlerna ovan. Exempelvis kan vi beräkna alla förhållanden för triangeln nedan:. Sinus, cosinus och tangens är med andra ord bara olika namn för de kvoter som man kan ställa upp mellan en rätvinklig triangels sidor. Låt oss försöka förstå oss på hur varje vinkel v ger ett specifikt värde på sinus, cosinus och tangens. I bilden nedan har vi ritat tre trianglar som alla har samma form, dvs. Minns definitionerna från innan:.

Rätvinklig triangel kalkylator

Vad för samband verkar det finnas mellan värdena för sinus, cosinus och tangens i respektive fall? Det ser ut som att värdena är desamma, oberoende av storleken på triangeln. Med andra ord är de trigonometriska funktionernas värden enbart beroende av vinkeln i sig. De trigonometriska funktionerna kan ses som namn på de förhållanden som ställs upp mellan en rätvinklig triangels sidor.

Beräkna vinkel rätvinklig triangel

Alla likformiga, rätvinkliga trianglar har då samma förhållande mellan sina sidor; samma sinus, cosinus och tangens. Allt som skiljer dem åt är storleken på sidorna. Dessa trigonometriska funktioner kan vi använda för att ta reda på den okända längden på en av en rätvinklig triangels sidor, om vi känner till längden på en av de andra sidorna och storleken på en av triangelns spetsiga vinklar. Eftersom rätvinkliga trianglar med samma vinkel är likformiga räcker det med att veta denna vinkel och storleken på en av sidorna för att bestämma den okända längden. Till att börja med bör vi rita upp en figur, så att vi får överblick över triangelns sidor och vinklar, och därigenom minskar risken för att vi ska resonera fel:. Utifrån den kända vinkeln är sidan b den närliggande kateten. Eftersom vi känner till längden på hypotenusan, så använder vi oss av cosinus-funktionen för att bestämma längden på sidan b. Det är dock viktigt att alltid ha en bild av vad det är man gör.

Med en miniräknare får vi att:. Tänk själv på om det även hade gått att använda sinusfunktionen för att bestämma sidan b. Utifrån vår figur ser vi att sidan a är motstående katet, så vi använder oss av sinus-funktionen för att hitta längden på sidan a i det här läget hade vi även kunnat använda oss av tangens-funktion, eftersom vi nu känner till längden på den närliggande kateten :. Frågan är om vi, givet en viss kvot, kan beräkna vilken vinkel det är som spänns upp av triangeln. För att hantera denna fråga introducerar vi det inversa värdet till sinus, cosinus och tangens. Dessa inversa trigonometriska funktioner kan vi alltså använda för att ta reda på hur stor en av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel är, om vi känner till längden på minst två av triangelns sidor eller mer konkret, deras förhållande. Förenklat kan vi säga att inversa funktioner gör motsatsen till vad den vanliga funktioner gör. De trigonometriska funktionerna sin, cos och tan, liksom de inversa trigonometriska funktionerna arcsin, arccos och arctan, finns alla förprogrammerade i vanliga grafritande miniräknare.